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'수학'에 해당되는 글 3건

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1. 카드 한벌(52장)을 준비합니다. 조커(Joker)는 사용하지 않으므로 빼세요.

2. 카드에 있는 숫자를 이진수로 나타낸 것입니다.
    잭(Jack), 퀸(Queen), 킹(King)이면 각각 11, 12, 13의 숫자를 갖지요.
    마술을 하는 동안 여러분은 카드에 있는 숫자를 이진수로 나타낼 수 있어야 하므로 이것을 꼭 알아두어야 합니다.

    카드                       이   진   수
                        8          4          2          1
    Ace                                                 1
    Two                                     1          0
    Three                                   1          1
    Four                          1          0          0
    Five                           1          0          1
    Six                            1          1          0
    Seven                        1          1          0
    Eight             1           0          0          0
    Nine              1           0          0          1
    Ten               1           0          1          0
    Jack              1           0          1          1
    Queen           1            1          0          0
    King              1            1          0          1

3. 카드 앞면을 위로 하여 보이게 한 다음 설명대로 따라 하세요.

4. 자, 이제 카드를 한 장씩 빼서 카드의 숫자를 이진수로 나타냈을 때, 1의 자리에 공통으로 "1"을 갖는 카드만 선택하여 오른쪽에 엎어 놓습니다. 그렇지 않은 카드는 왼쪽에 엎어 놓습니다. 이런 식으로 하여 카드 한 벌을 오른쪽, 왼쪽에 나누어 쌓아놓습니다.

5. 분류가 다 끝나면 오른쪽에 쌓여있는 카드를 왼쪽에 쌓여 있는 카드 위에 올려놓습니다.

6. 다시 카드 앞면을 위로 하여 보이게 한 다음 이번에는 카드의 숫자를 이진수로 나타냈을 때 2의 자리에 공통으로 "1"을 갖는 카드는 오른쪽에, 그렇지 않은 카드는 왼쪽에 엎어 놓아 양쪽에 차곡차곡 쌓아놓습니다.

7. 분류가 다 끝나면 오른쪽에 쌓여 있는 카드를 왼쪽에 쌓여 있는 카드 위에 올려놓습니다.

8. 다시 카드 앞면을 위로 하여 보이게 한 다음 이번에는 카드의 숫자를 이진수로 나타냈을 때 4의 자리에 공통으로 "1"을 갖는 카드는 오른쪽에, 그렇지 않은 카드는 왼쪽에 엎어놓아 양쪽에 차곡차곡 쌓아 놓습니다.

9. 분류가 다 끝나면 오른쪽에 쌓여 있는 카드를 왼쪽에 쌓여 있는 카드 위에 올려 놓습니다.

10. 다시 카드 앞면을 위로 하여 보이게 한 다음 이번에는 카드의 숫자를 이진수로 나타냈을 때 8의 자리에 공통으로 "1"을 갖는 카드는 오른쪽에, 그렇지 않은 카드는 왼쪽에 엎어놓아 양쪽에 차곡차곡 쌓아놓습니다.

11. 분류가 다 끝나면 다시 오른쪽에 쌓여 있는 카드를 왼쪽에 쌓여 있는 카드 위에 올려놓습니다.(드디어 끝~)

12. 다시 카드 앞면을 위로 하여 보이게 한 다음 한 장씩 펼쳐보면 같은 숫자를 갖는 카드끼리 분류가 되어 있습니다.

왜 그럴까요?
  이 마술은 이진법의 또 다른 매력입니다. 여러분은 카드의 모든 숫자를 앞에서 주어진 표를 이용하여 이진수로 나타냈습니다. 각각의 자릿수로 카드를 분류하였을 때 그 카드가 자릿값 1을 갖는지 그렇지 않은지를 근거로 하여 두 그룹으로 분류하면 높은 숫자의 카드들이 분류됩니다. 그래서 마지막으로 높은 자릿수 8을 갖는 카드들만 오른쪽에 놓이게 되는 것이지요. 이런 식으로 해서 모든 카드를 완벽하에 분류해 내는 것입니다. 이것이 곧 수학의 마술인 셈입니다.
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패턴 1)  9의 배수는 항상 더해서 9가 나옵니다.

9 × 1 = 9
9 × 2 = 18           1 + 8 = 9
9 × 3 = 27           2 + 7 = 9
9 × 4 = 36           3 + 6 = 9
9 × 5 = 45           4 + 5 = 9
9 × 6 = 54           5 + 4 = 9
9 × 7 = 63           6 + 3 = 9
9 × 8 = 72           7 + 2 = 9
9 × 9 = 81           8 + 1 = 9
9 ×10 = 90           9 + 0 = 9

패턴 2)  9에 다른 수를 곱하여 생긴 수의 자릿값들의 합은 항상 9가 됩니다.
또는 합의 자릿값들을 한 번 더 더해도 9가 됩니다.

9 × 123 = 1,107       1 + 1 + 0 + 7 = 9
9 × 568 = 5,112       5 + 1 + 1 + 2 = 9

9 × 354 = 3,186       3 + 1 + 8 + 6 = 18        1 + 8 = 9
9 × 961 = 8,649       8 + 6 + 4 + 9 = 27        2 + 7 = 9
9 × 708 = 6,372       6 + 3 + 7 + 2 = 18        1 + 8 = 9

패턴 3)  9의 곱셈을 사용한 패턴

9 × 0 + 1 = 1
9 × 1 + 2 = 11
9 × 12 + 3 = 111
9 × 123 + 4 = 1,111
9 × 1234 + 5 = 11,111
9 × 12345 + 6 = 111,111
9 × 123456 + 7 = 1,111,111
9 × 1234567+ 8 = 11,111,111

패턴 4)  9와 8을 포함한 패턴

9 × 9 + 7 = 88
9 × 98 + 6 = 888
9 × 987 + 5 = 8,888
9 × 9876 + 4 = 88,888
9 × 98765 + 3 = 888,888
9 × 987654 + 2 = 8,888,888
9 × 9876543 + 1 = 88,888,888


주의!
위의 계산에서 한 자리 숫자를 더하기 전에 항상 숫자 하나를 건너뛰어야 합니다.

 



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다음은 월간 『배남』 11월호에 실렸던 기사입니다.

날씨가 서늘해지면서 수담이네 집 대추나무에는 대추가 익어가고 있었다. 수담이는 '대추가 다 익으면 누구에게 먼저 줄까?' 골똘히 생각하고 있었는데 마침 은영이가 와서, 수담이와 은영이는 대추를 따기 시작했다. 시원하고 쌉싸롬한 맛을 즐기며 한 개씩 따서 주머니에 담았다. 그러다가 문득 아쉬운 마음이 생기기 시작했다. '이 대추를 다 따면 금방 먹어 버릴 텐데 아무리 따도 계속 대추가 남아 있다면 얼마나 좋을까?'
혹시 무언가 맛있는 것을 먹다가 먹어도 먹어도 계속 없어지지 않으면 좋겠다는 생각을 해본 적이 있는가? 누구나 한번쯤은 그런 세계가 있다면 얼마나 풍요로울까 생각하지만, 곧 현실에 눈이 닿으면서 아쉬워할 뿐이다. 하지만 그런 세계는 없다고 쉽게 단정짓지는 말자. 열려 있는 마음으로 새로운 세계를 개척할, 적어도 경험할 준비가 되어 있다면, 우리 삶은 그만큼 풍부하게 될 테니까 말이다.
아무리 계속 따도 계속 대추가 남아 있는 세계, 바로 그런 세계를 우리 앞에 펼쳐 준 사람이 칸토어(Cantor, 독일, 1845 - 1918)이다. 칸토어는 마술사인가? 어쩌면 그를 마술사라고 부르는 것은 틀린 말이 아닐지 모른다. 그는 수를 가지고 마술을 부린 것이니까. 더 정확히 말하자면 그는 무한을 가지고 마술을 부린 것이다.
마당의 나무에 대추가 무한히 많이 달려 있다고 하자. 그리고 수담이와 은영이가 그 무한히 많은 대추가 달린 나무에서 대추를 한 개씩 딴다면, 대추는 몇 개가 남게 될까? 우선 무한히 많은 대추를 1, 2, 3, 4, 5, 6, … 과 같이 세어 보자. 그리고 수담이와 은영이가 두 개의 대추를 땄다고 해보자. 그러면 딴 후에도 남은 대추는 1, 2, 3, 4, 5, 6, … 와 같이 셀 수 있을 것이다. 그렇다면 나무에 남은 대추는 몇 개일까? 바로 이런 것이 '무한히 많다'는 말을 할 수 있는 경우일 것이다.
이렇듯 무한의 세계는 유한의 세계와는 엄청나게 다른 것이다. 우리는 일반적으로 대추나무에서 대추를 딴다고 하면, 남은 대추의 수는 원래 있던 00개의 대추에서 딴 대추의 수 00개를 빼면 된다고 생각한다. 그리고 그 두 수는 다르다고 생각한다. 그러나 칸토어의 무한개념에서 생각해볼 수 있듯이, 무한의 세계에서는 원래의 수와 빼고난 다음의 수는 같게 된다.
그렇다면 칸토어는 어떻게 이런 발상의 전환을 할 수 있었던 걸까? 이렇게 칸토어가 상식적인 유한의 세계와는 다른 무한의 세계를 마치 유한처럼 다룰 수 있게 되기까지에는 '수학의 본질은 자유에 있다'는 그의 생각이 큰 뒷받침이 되었을 것이다. 새로운 세계는 새로운 관점에서 보아야 하는 것이기 때문이다.

무한을 세어보자

한강 고수부지에 앉아 시원한 가을 바람을 즐기던 은영이는 문득 '이 세상에는 모래알이 얼마나 많을까?'하는 생각이 들었다. 눈 앞에 있는 모래알을 하나씩 다 세고, 다시 강을 따라 내려가면서 모래알을 세어나가면, 지구를 돌면서 이 지구상의 모든 모래알의 개수를 셀 수 있지 않을까 생각하던 은영이는 눈앞이 캄캄해지는 것을 느꼈다. 양쯔 강, 나일 강, 갠지즈 강,…  백사장이 얼마나 넓은가. 이런 식으로는 모래알이 얼마나 많은지 짐작도 할 수 없다고 생각되었다.
그러면 이 지구상의 모래알은 셀 수 없을 만큼 많을까? 방법을 바꾸어 다시 생각해보자.
지구의 반지름은 6,400km이니까 겉넓이는 4×6,4002×3.14=514,457,600(km2)이다. 만약 1cm2안에 100개의 모래알이 있다고 해도 이 지구상에 있는 모든 모래알의 개수는 '시간만 있다면' 끝까지 셀 수 있다. 다시 생각해서 굉장히 큰 자루에 모래알을 다 넣었다고 생각해보자. 한 개씩 꺼내면서 센다면 언젠가는 모두 셀 수 있다. 이렇게 시간만 충분하다면 셀 수 있는 것은 끝날 수 있는 것이고, 이런 것을 '유한'이라고 한다.
그러면 아무리 시간이 많아도 끝까지 셀 수 없는 경우도 있을까? 그렇다. 자연수 1, 2, 3, 4, …는 자손 대대로 세어나간다고 하더라도 결코 끝나지 않는다. 자연수에서 가장 큰 수를 n라고 생각하더라도 n+1이라는 n보다 큰 자연수가 반드시 있게 되기 때문이다. 곧 지구상에 있는 모래알의 수와는 달리 자연수는 결코 끝나지 않는 수, '무한히 많은' 수이다.
무한을 셈하기 위해서는 '무한이란 무엇인가?'에 대한 이해가 있어야 한다. 무한의 수학을 창시한 칸토어도 수학자이기에 앞서 무한의 문제를 깊이 성찰한 철학자였다. 우리가 배우는 집합론의 바탕에는 실제로 무한에 관한 그의 사상이 깔려 있다.
그러면 칸토어는 어떻게 무한을 셈할 수 있었을까? 여기서 잠깐 원시인들이 수를 셈했던 방법을 생각해보자. 수를 나타내는 말이나 기호가 없었던 시절, 사람들은 자신이 키우는 양의 수를 돌멩이를 이용하여 기억하였다. 양 한 마리에 돌 한 개를 대응시켜가는 방법이다. 칸토어는 무한을 다루는 방법으로 원시인의 방법과 비슷하게, 원소의 개수를 하나하나 비교하는 방법을 선택했다. 즉 일대일 대응을 이용하여 무한을 셈한 것이다. 일대일 대응이라는 방법을 이용하여 무한을 셀 수 있게 된 후에는 무한도 유한과 마찬가지로 수학의 대상이 된 것이다.
더구나 보통 무한이라고 하면 다 똑같다고 생각하는데 칸토어는 이 방법으로 무한 중에도 작은 무한이 있고 큰 무한이 있을 뿐더러 전체가 부분보다 크다는 상식까지 뒤집어 버린 것이다.

부분보다 크지 않은 전체도 있다

전체가 부분보다 크지 않은 경우도 있을까? 이제 짝수와 자연수를 다음과 같이 순서대로 대응시켜보자.

      자연수     1    2    3    4    5     6    …    n    …
                    ↓   ↓   ↓   ↓    ↓    ↓          ↓
      짝  수     2    4    6    8   10    12    …   2n    …


짝수는 분명히 자연수의 한 부분이다. 그러나 이와 같은 방법으로 대응시키면 자연수와 짝수는 짝을 이루게 되는데 이 짝짓기를 끝없이 해나가면 어느 쪽 수가 모자라게 될까? 마치 마술처럼 짝수의 집합과 자연수의 집합의 원소의 개수는 같게 된다.
마찬가지 방법으로 하면 홀수의 집합과 자연수의 집합의 원소의 개수도 같고, 5의 배수의 집합과 자연수의 집합의 원소의 개수도 같다. 즉, 자연수의 집합의 부분집합인 짝수, 홀수, 5의 배수의 집합 등의 원소의 개수가 전체집합인 자연수의 집합의 원소의 개수와 같게 되는 것이다.
대추가 10개 있을 때, 몇 개를 먹어 버리면 남아 있는 대추의 수는 반드시 10보다 작다. 이렇게 부분이 전체와 같은 경우는 유한의 세계에서는 결코 일어나지 않는다. 그러나 무한의 세계에서는 부분이 전체와 같은 경우가 생긴다.
무한의 개념을 유한보다 '더 많은 것'이라는 정도로 생각했던 시대에는, 앞의 경우와 같은 이상한 일은 도저히 받아들여질 수 없었을 것이다. 다시 말하면 무한의 세계는 우리가 알고 있던 상식을 버려야 이해되는 세계이다. 일대일 대응이라는 방법을 사용함으로써 무한을 세며 비교할 수 있게 되었다. 또 유한과 구별하기 위하여 소금물의 농도처럼 무한에서는 개수가 아니라 농도라는 말을 사용하게 되었다. 즉, 자연수의 농도, 정수의 농도, 유리수의 농도가 모두 같은 것이다.
이와 같이 무한을 유한과 같은 방식으로 취급할 수 없다는 것을 깨닫고 무한의 세계를 깊이 연구하다가 칸토어는 집합론이라는 수학을 만들어 내게 되었다. '무한의 수학'인 집합론을 29세 때인 1874년에 처음으로 발표하였으나 그 논문을 발표하기까지 10년간이나 스스로도 확신과 회의를 반복하였다고 한다. 논문이 발표되고 그동안 알고 있던 상식에서 벗어나는 해괴한 일이 벌어지자 칸토어에게는 엄청난 비난이 쏟아졌다. 수학의 새로운 지평을 연 천재가 감당할 수 없을 만큼.

그것은 철학의 문제

왜 칸토어에게 이렇게 비난이 쏟아졌을까? 그것은 그들의 세계관이 달랐기 때문이다. 수학자들의 작업에도 그들의 세계관이 개입되어 있으며 그 수학적 작업을 완전히 이해하기 위해서는 그들이 가지고 있던 형이상학적 전제를 검토해보는 것이 필요하다. 오늘날 대부분의 수학자들은 그들이 알고 있든 그렇지 못하든 간에 플라톤주의에 기반하고 있는데 그 반대편에는 직관주의가 있다. 플라톤주의와 직관주의의 대표주자라고 할 수 있는 칸토어와 브로워(D. Brower, 1881∼1966)의 세계관을 비교해보자.
플라톤주의는 실수 체계 등 이상적인 수학적 존재들이 실재하고, 수학은 수학을 수행하는 사람으로부터 근본적으로 독립해서 존재한다고 생각한다. 그리고 플라톤의 이데아는 인식 주관으로부터 독립된 것이며 사유에 의한 창조물이 아니다. 그런데 직관주의는 인간 사유에 의해서 구성될 수 있는 것만을 수학적 존재자로 인정한다. 여기서 직관이라고 하는 것은 단순한 경험적인 직관을 그대로 의미하는 것이 아니고 논리적, 산술적인 사실을 직접적으로 또는 확실히 파악하는 것을 의미한다.
직관주의의 입자에서 볼 때, 수를 비롯한 모든 수학적 대상은 그것을 구성하는 방법이 존재하는 경우에만 정의된다고 간주하는 것이다. 즉 유한한 단계에서 구성이 될 수 있어야 존재한다고 간주하는 것이다. 따라서 직관주의자의 입장에서는 무한번 어떤 방법을 되풀이하는 칸토어의 수학은 문제가 있다고 볼 수밖에 없다. 린데만이 1882년에 가 초월수라는 것을 증명했다는 소식을 들은 크로네커는 "그것 흥미있군. 가 존재하지 않는 사실을 제외하곤 말이야"라고 했다는 일화에서도 이 사실을 엿볼 수 있다. 칸토어는 그의 스승이었던 크로네커나 후에 브로워로 대표되는 직관주의와는 대립되는 입장에 있었던 것이다. 이러한 직관주의적 입장은 비유클리드 기하 등 현실 세계와 연관지어 수학적 진리의 근거를 말할 수 없게 되면서 19세기에 수학이 매우 추상화되어 가는 과정에서 더욱 입지를 넓힐 수 있었다고 보여진다.
다음의 문제를 한번 생각해보자.

우주에는 무한히 많은 방을 가진 호텔이 있다. 어느 날 호텔의 방은 모두 차 있을 때, 한 우주인이 와서 방을 달라고 했다. 호텔의 방이 모두 찼음에도 불구하고 지배인은 이 우주인에게 방을 한 개 내주었다. 지배인은 각 방의 손님들에게 모두 그 다음 번호의 방으로 옮겨 달라고 방송하고 1호실에 이 우주인을 들어가게 한 것이다.
그 다음 날이 되자, 이번에는 무한히 많은 사람들이 와서 방을 달라고 하였다. 그러자 지배인 호텔 방이 꽉 찼음에도 불구하고 또 다시 방을 비워 무한히 많은 사람들이 더 들어갈 수 있게 해주었다. 어떻게 했을까?

여러 가지 방법이 가능하다. 모든 사람들에게 지금 있는 방 호수의 2배가 되는 호수의 방으로  옮겨달라고 방송한 후 새로온 사람들에게는 1호실, 3호실, 5호실,…과 같이 호수가 홀수인 방에 들어가도록 하면 된다. 만약 3배가 되는 호수의 방으로 옮긴다면 1호실, 2호실, 4호실, 5호실,…과 같이 3으로 나누었을 때 나머지가 1, 2인 방으로 들어가도록 하면 되는 것이다.
칸토어가 쓸쓸히 정신병원에서 생을 마친 것을 안타깝게 생각한다면 그의 생각을 조금이라도 따라가 보자. 칸토어가 마련한 낙원에서 떠날 생각이 없다던 힐버트가 제안한, 위의 문제에 나온 호텔을 지어보는 것도 괜찮겠다. 상상 속에서나마 말이다./남호영(대림여자중학교 수학선생님)
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