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다른 사람이 생각한 숫자를 알아맞히는 마술을 생각해 봅시다.
100원짜리 동전과 10원짜리 동전을 하나씩 준비하세요.



자, 상대방에게 동전들을 주고 오른손과 왼손에 동전을 각각 하나씩 쥐고 있으라고 하세요. 그리고는 오른손의 동전 값에 4를 곱한 값과 왼손의 동전 값에 3을 곱한 두 값을 더해서 이야기 해달라고 하세요. 그 값을 알면 어떤 손에 100원짜리 동전이 있는지 알 수 있습니다.

어떻게 알 수 있을까요?
예를 들어 오른손에 100원짜리 동전을 가졌다면 이 사람이 계산한 값은 100×4+10×3〓430입니다.
만일 왼손에 100원짜리 동전을 가지고 있다면 계산한 값은 10×4+100×3〓340입니다.
사실 이 두 값만 미리 알고 있으면 어느 손에 100원짜리 동전을 가졌는지 잘 알 수 있겠지요. 이렇게 하면 친구들이 그게 무슨 마술이냐고 하겠지요? 그러나 이것을 잘 들여다보면 수의 성질을 이용한 문제라는 것을 알 수 있는데 잘 이용하면 다른 형태의 마술을 할 수 있을 것입니다.

<수의 성질>

짝수 x 어떤 수 -> 짝수

홀수 x 홀수 -> 홀수

짝수 + 홀수 -> 홀수

짝수 + 짝수 ->짝수

홀수 + 홀수 ->짝수

100과 10에서 0을 하나 떼어버리면 10과 1이 되어 짝수와 홀수이지만 우리가 곱하는 수 4가 짝수이므로 계산한 두 값 중 한 값은 반드시 짝수입니다. 따라서 계산한 두 값을 더한 결과가 짝수이면 두 수 모두 짝수라는 말이므로 4를 홀수 1에 곱했다는 것이고 계산한 두 값을 더한 결과가 홀수이면 한 수는 홀수라는 말이 되어 3을 홀수 1에 곱했다는 것입니다. 따라서 마지막 계산값에서 끝의 0을 떼버리면 43과 34 두 값이 되는데 만일 이 값이 짝수이면 왼손에 100원짜리 동전이 있고 홀수이면 오른손에 100원짜리 동전이 있습니다.

이 생각을 응용하면 좀 더 멋진 방법을 만들 수 있습니다.

친구가 7개의 구슬을 양손에 나누어 쥐었을 때 어느 손이 짝수개의 구슬을 가지고 있는지 알아 맞추는 것입니다. 양쪽 손 모두 홀수일 수는 없습니다. 왜냐하면 홀수를 두 수의 합으로 생각하면 어느 한 수는 반드시 짝수이니까요. 이것을 위해 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10이 쓰인 10개의 카드와 2개의 상자를 준비하여 오른쪽 상자 안에는 2, 4, 6, 8, 10이 적힌 카드를 넣고, 왼쪽 상자에는 1, 3, 5, 7, 9가 적힌 카드를 넣습니다. 이제 각각의 상자에서 카드 한 장씩을 뽑아 어떤 수인지 말하지 말고 왼손에 있는 구슬 수에 왼쪽 상자에서 뽑은 수를 곱하고 오른손에 있는 구슬 수에 오른쪽 상자에서 뽑은 수를 곱하여 두 수의 합을 구하게 한 다음 알려달라고 합니다.

어느 손에 짝수개의 구슬이 있을까?

자, 이제 어떻게 알아내면 될까요? 만일 계산한 값이 짝수이면 어느 손 안에 짝수개의 구슬이 있을까요?

머리가 아픕니까? 그러면 아주 쉬운 방법을 하나 이야기하지요. 50원짜리 동전과 10원짜리 동전을 오른손과 왼손에 각각 하나씩 가지라고 하세요. 그리고 먼저 계산하고 싶은 손을 들고 그 안에 있는 동전 값에 15를 곱하라고 하세요. 계산이 끝나면 손을 내리고 이번에는 다른 손을 들고 그 손 안에 있는 동전 값에도 15를 곱하고 계산이 다 끝나면 손을 내리라고 하세요. 이제 여러분은 어느 손에 50원짜리 동전이 들어 있는지 알 수 있습니다. 계산한 값이 얼마인지도 모르는데 어떻게 알 수 있을까요?

* 계산하는 시간을 이용하는 것이지요. 10×15는 금방 계산이 되지만 50×15는 조금 시간이 더 걸리지요. 그러니까 조금 더 오래 들고 있는 손 안에 있는 동전이 50원짜리 동전이지요.

물론 계산이 아주 빠른 어린이들에게는 이 방법이 통하지 않겠지요. 그리고 이 방법을 눈치채고 일부러 계산시간을 조절하는 어린이들에게도 통하지 않을 거예요. 재미로 해 볼 수 있는 방법이지요.

왜 그렇게 될까요?

오른쪽 상자에 들어있는 값이 모두 짝수이므로 오른손의 구슬 수와 카드 값을 곱한 값은 항상 짝수입니다. 따라서, 왼쪽 계산 값이 작수이면 더한 값도 짝수이고 왼쪽 계산 값이 홀수이면 더한 값도 홀수입니다.
그런데 왼쪽 상자의 카드들은 모두 홀수이므로 왼손에 들어있는 구슬 수가 짝수이면 곱한 값도 짝수이고 구슬 수가 홀수이면 곱한 값도 홀수가 되므로 알려준 값이 짝수이면 왼손에 짝수개의 구슬이, 홀수이면 왼손에 홀수개의 구슬이 있으므로 오른손에 짝수개의 구슬이 있는 것입니다.
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여러분은 태어난 해와 날을 알고 있죠?
하지만 무슨 요일에 태어났는지도 알고 있나요?
여러분의 부모님, 형제, 또는 친구가 태어난 요일은요?

이제 여러분은 태어난 날의 요일을 알 수 있습니다.
아래에 여러분이 보다 쉽게 요일을 맞힐 수 있도록 월과 요일을 숫자로 표시해 놓았습니다.



1월    1*
2월    4*
3월    4
4월    0
5월    2
6월    5
7월    0
8월    3
9월    6
10월   1
11월   4
12월   6
(*윤년 - 1972, 1976, 1980, 1984, 1988, 1996, 2000년-일 때는
1월은 0으로, 2월은 3으로 바꾸세요.)

요일

일요일   1
월요일   2
화요일   3
수요일   4
목요일   5
금요일   6
토요일   0


<만일 1973년 9월 16일에 태어났다고 합시다.>
1. 태어난 연도의 마지막 두 자릿값을 적습니다.
   73

2. 그 수를 4로 나누세요. 나머지는 무시합니다.
   (소수점이하는 버리고 정수만 취합니다.)
   73 ÷ 4 = 몫 18, 나머지 1 이므로 18

3. 위의 월과 요일표를 보세요. 태어난 달은 몇인가요?
    6

4. 태어난 날을 적습니다.
    16

5. 여러분은 4개의 수를 갖고 있습니다. 그것들을 모두 더하세요.
    73 + 18 + 6 + 16 =113

6. 이 수를 7로 나누세요. 이 때 나머지가 바로 여러분이 태어난 요일에 해당하는 수입니다.
    만일 나머지가 없다면, 0이라면 토요일에 태어난 것입니다.
    113 ÷ 3 = 몫 37, 나머지 2
    → 태어난 요일은? 월요일입니다!

▶ 달력의 월과 일은 수열입니다. 수열이란 일정한 질서대로 차례차례 나열된 수의 집합으로 수열을 이용한 마술이랍니다!
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1. 친구에게 등을 돌리고 앉아 친구한테 주사위 3개를 굴리라고 하세요.

2. 3개의 주사위에 나온 숫자를 모두 더하여 종이에 쓰게 합니다.

   예) 5+5+2=12

3. 아무 주사위든 하나만 택하여 그 바닥 밑에 씌여 있는 숫자를 이미 써놓은 합계에 더하여 새로운 합계를 내도록 합니다.

   예) 2밑의 숫자 5 ----> 12+5=17

4. 3단계에서 택했던 주사위를 다시 굴려 나온 숫자를 새로운 합계에 다시 더하여 총 합계를 쓰게 합니다.

   예) 2 적힌 주사위 다시 굴려 3이 나옴 ----> 17+3=20

5. 친구가 어떤 주사위를 택했는지, 친구가 종이에 마지막으로 적은 총 합계가 얼마인지 여러분은 지금 모르는 상태입니다. 적어도 친구가 보기에는~

6. 여러분이 돌아서기 전에 친구가 어떤 주사위를 택했는지 모른다는 사실을 다시 한 번 확인시킵니다.(그 주사위는 3개 중의 하나겠지요). 자, 이제는 뒤로 돌아서 3개의 주사위에 나온 숫자들을 보고 조용히 그 합에 7을 더합니다. 주사위 하나를 손 안에서 흔든 다음 귀에 가까이 대어봅니다. 그리고 나서 3개의 주사위의 합에 7을 더한 숫자를 마치 주사위가 알려준 것처럼 말하세요. 그것이 바로 답입니다.

   예) 5+5+3=13   --->13+7=20

왜 그럴까요?

주사위의 마주 보는 합은 항상 7입니다. 친구가 한 주사위의 바닥 면을 보고 그 숫자를 총합에 더한다면 친구가 고른 주사위의 값을 뺀 셈이지요. 친구가 다시 주사위를 던져 어떤 수가 나오든 여러분은 그 나온 세 주사위의 합에다 7만 더하게 되면 친구가 갖고 있던 수와 같게 됩니다.
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달력에 표시된 9개의 숫자의 합을 1초 만에 간단히 구할 수 있을까요?



<구하는 방법>
1. 2, 3, 4, 9, 10, 11, 16, 17, 18 숫자 중 가운데의 10에 9를 곱합니다. 곱한 값은 90.

2. 이제 연필이나 계산기로 9개의 숫자를 모두 더해 보세요. 합이 얼마인가요? ^^

3. 이와 같은 방법으로 달력에 있는 다른 9개의 숫자들에 대해서도 같은 계산을 해보세요. 단, 위에 표시되어 있는 것처럼 가로 3개 × 세로 3개 안에 있는 숫자들에 대해서만 성립한다는 사실을 꼭 기억해야 합니다.

▶ 이 계산 방법의 비밀은 순서가 연속적으로 나타나는 숫자의 성질 때문이래요.
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1. 친구에게 1에서 9까지 좋아하는 숫자 하나를 고르게 합니다.
  (반드시 한 자리 숫자여야 합니다.)

2. 그 수에 9를 곱하여 나온 답을 마법의 수 '12,345,679' 밑에 적습니다.


마법의 수'12,345,679'는 기억하기 쉽습니다.
단지 8만 빼고 1부터 9까지 쭉 쓰면 된답니다.

예를 들어, 친구가 2를 택했다면, 2×9=18을 12,345,679 밑에다 씁니다.

               12,345,679
              ×         18

3. 이제 친구에게 이 곱셈 문제를 풀게 하세요.
  답을 볼까요?  

  222,222,222

  놀랍게도 친구가 좋아하는 숫자가 계속해서 나오네요!
  이 마술은 1에서 9까지 어떠한 숫자라도 쓸 수 있답니다.
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다음 그림 왼쪽에 있는 정사각형을 그림과 같이 굵은 선을 따라 잘라 오른쪽 그림과 같이 붙여봅니다. 잘 맞나요? 그런데 이상하군요.



사각형이 왜 한 개 더 늘었을까?

왼쪽의 정사각형은 작은 사각형이 모두 8×8〓64개인데
오른 쪽 사각형은 작은 사각형이 모두 5×13〓65가 되는군요.
한 개가 더 늘었어요.
도대체 무슨 일이 생긴 것일까요?

왜 그렇게 될까요?

면적이 늘어난 것은 아닙니다.
오른쪽 그림을 좀 더 크게 그려보면 가운데 빈 공간이 있습니다.
이 공간의 넓이가 작은 사각형 1개의 넓이와 같습니다.
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1. 친구에게 "네가 알고 있는 긴 수를 생각해봐. 전화 번호, 우편 번호, 아니면 생일 날짜라도 괜찮아. 긴 수를 생각했으면 나에게 말하지 말고 그 수를 종이에 적어봐. 물론 나에게 보이지 말고~"라고 말합니다.

    그 친구가 2530676라고 썼다고 합시다.

2. 친구를 수를 썼으면 " 네 맘대로 그 수에서 자릿값들을 바꿔봐. 거꾸로도 좋고 아무렇게나 어떤 식으로든지 좋아."라고 말합니다.

    6760352로 바꿨다고 합시다.

3. 그런 다음 "큰 수에서 작은 수를 빼봐."라고 말합니다.

    6760352 - 2530676 = 4229676

4. 이번에는 "빼서 나온 수의 모든 자릿수를 더해봐."라고 말합니다.

    4 + 2 + 2 + 9 + 6 + 7 + 6 = 36

5. 마직막으로 "더해서 나온 값의 자릿수를 또 더해 봐."라고 말합니다.

    3 + 6 = 9

6. 친구에게 그 수를 잘 보라고 하면서 "자, 잘 봐. 내가 그 수가 무엇인지 알아맞힐게"라고 말합니다. 눈을 지그시 감고 주문을 외우듯 하면서 잠시 뜸을 들인 후 "그거 9지?"라고 자신있게 말합니다. 그 친구는 아마도 깜짝 놀라겠죠?
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▶ 같은 반 친구들의 마음을 하나로 모을 수가 있을까요?

   ① 각자 마음속에 좋아하는 어떤 수를 떠올린다.
   ② 그 수에 2를 더한다.
   ③ 그 답을 2배 한다.
   ④ 그 답에 또 2를 더한다.
   ⑤ 더한 답을 2로 나눈다.
   ⑥ 마지막으로 그 답에서 처음에 자기가 생각했던 수를 뺀다.

자, 여러분의 답은 몇으로 나왔을까요?


▶ 서로 다른 수를 생각했는데도 마지막엔 같은 답이 나오는 것이 매우 재미있게 여겨질 것이다. 모두 3으로 나온 이유는 다음과 같다.

처음에 떠 올렸던 수를 A 라고 하면
   ① A                  
   ② A+2
   ③ (A+2)×2          
   ④ (2A+4)+2 = 2A+6
   ⑤ (2A+6)÷2 = A+3  
   ⑥ (A+3)-A = 3

☞ 문제의 '2'(2를 더한다. 2배한다.)를
    '3'으로 바꾸게 되면 (3을 더한다. 3배한다.) 답은 언제나 4로
    또 '2'를 4로 바꾸게 되면 답은 5로 바뀌게 된다.
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먼저 두 자릿수 하나를 생각해 보세요.
그런데 십자리 수와 일자리 수가 서로 다른 두 자릿수를 생각합시다.
생각했으면 이번에는 생각한 수의 일자리 수와 십자리 수를 바꾸어 새로운 수를 만드세요.
(예를 들어 29를 생각했으면 새로운 수는 92이지요).

이제 두 수 중 큰 수에서 작은 수를 빼서 생긴 수의 십자리 수와 일자리 수를 더해보세요.
만일 한 자릿수이면 십자리 수를 0으로 생각하세요.
그 수가 얼마인지 안답니다. 여러분들이 생각한 수가 다 다른데 어떻게 알 수 있냐고요?

이것이 바로 수의 재미있는 성질이지요. 생각한 수는 모두 달라도 마지막 결과는 모두 9입니다. 맞았지요? 두 자릿수가 너무 간단하면 세 자릿수를 가지고 똑같이 해 보도록 하지요.


예를 들어 세 자릿수 375를 생각하고 세 수의 위치를 마음대로 바꾸어 다른 세 자릿수 753을 만들면 두 수의 차이가 753-375〓378입니다.
이제 각 자리 수를 더해보면 3+7+8〓18이군요.

아니 9가 아니고 18이군요. 예, 세 자릿수가 되면 9가 아닐 수도 있습니다.
그러나 다시 한번 더해보면 1+8〓9가 되는 것을 알 수 있지요.
각자리의 수가 같은 경우에는 0이 나오기도 한다고요?
예, 맞습니다.
이제 네 자릿수를 가지고 똑같이 해보면 어떨까요?

혹시 배수를 공부한 어린이들은 각 자리 수의 합이 9의 배수가 되면 그 수가 9의 배수가 된다는 것을 배웠지요?
자 그러면 어떤 짐작을 할 수 있을까요?

“어떤 수와 그 수의 각 자리 수를 바꾸어 만든 수와의 차이는 항상 ( )의 배수이다.”

물론 이 짐작이 정말로 맞는지 증명하는 과정을 거쳐야하지만 여러분은 지금 수의 성질 중 한가지를 찾아낸 것이지요.

이 성질을 이용해서 약간 복잡하게 해볼까요? 먼저 친구에게 생년월일을 적으라고 하세요. 그리고 적당히 각 자리 수들을 뒤섞어 새로운 수를 만들고 두 수의 차이를 구한 후에 각 자리수를 더해보라고 하지요.

틀림없이 9의 배수가 나올 것입니다. 한 자릿수가 나올 때까지 이 방법을 계속하면 마지막에 어떤 수가 될지 짐작이 되지요?
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다음 그림을 보세요. 사각형 안에 똑같은 길이의 선이 똑같은 폭으로 모두 9개의 선이 그려져 있습니다.



이제 점선을 따라 가위로 오린 후 아래 삼각형을 왼쪽 아래로 살짝 밀어 아래 그림과 같이 만들어 보세요. 모두 몇 개의 선이 있나요?



8개뿐이지요? 그러면 선 하나는 어디로 숨어버렸나요?

숨은 것이 아니라면 한 번 찾아보세요.

왜 그렇게 될까요?

선이 8개가 되어 선의 갯수는 줄어들었지만
실제 선의 길이는 원래 선의 길이보다 늘어난 것을 알 수 있습니다.
즉 9개 선의 길이의 합이나 8개 선의 길이의 합은 같습니다.
혹은 제일 오른쪽에 있는 선이 옆에 있는 선 아래로 들어갔다고도 말할 수 있습니다.
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